Hàm số $y=x+\dfrac{16}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[3;6]$ tại điểm

Bài toán gốc

Hàm số $y=x+\dfrac{16}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[3;6]$ tại điểm

A. $x=3$.

B. $x=4$.

C. $x=8$.

D. $x=6$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đóng. Phương pháp giải chung là sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số trên đoạn đó. Các bước: 1. Tính đạo hàm $f'(x)$. 2. Tìm các điểm cực trị (nghiệm của $f'(x)=0$) nằm trong đoạn $[a;b]$. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai điểm mút $a, b$. 4. So sánh các giá trị này để kết luận GTNN và GTLN.

Bài toán tương tự

Hàm số $y=2x+\dfrac{18}{x}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[2;5]$ tại điểm nào sau đây? A. $x=2$. B. $x=3$. C. $x=4$. D. $x=5$. Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta có $y’ = 2 – \dfrac{18}{x^2}$. Cho $y’ = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x=3$ (vì $x \in [2;5]$). Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị: $y(2) = 2(2) + \dfrac{18}{2} = 4+9=13$. $y(3) = 2(3) + \dfrac{18}{3} = 6+6=12$. $y(5) = 2(5) + \dfrac{18}{5} = 10 + 3.6 = 13.6$. So sánh các giá trị, ta thấy GTLN là 13.6, đạt tại $x=5$. (Lưu ý: Nếu sử dụng Cauchy: $2x + 18/x \ge 2\sqrt{2x \cdot 18/x} = 2\sqrt{36} = 12$. GTNN là 12, đạt tại $x=3$. Tuy nhiên, đề bài hỏi GTLN). Cập nhật lại kết quả tính toán: $y(2)=13$, $y(5)=13.6$. Vậy GTLN đạt tại $x=5$. Đáp án đúng phải là D.