Bài toán gốc
Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x-m^2}{x+4}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $a,b$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-8;-5]$. Tính tổng bình phương các giá trị $m$ để $a+b=27$?
A. $32$.
B. $35$.
C. $29$.
D. $31$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là bài toán tìm tham số dựa trên giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{Ax+B}{Cx+D}$ trên một đoạn $[p; q]$. Do điểm gián đoạn (tiệm cận đứng) $x=-4$ không thuộc đoạn $[-8; -5]$, hàm số đã cho là đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên đoạn này. Phương pháp giải là tính đạo hàm $y’$ để xác định tính đơn điệu. Vì $y’ = \dfrac{4+m^2}{(x+4)^2} > 0$ với mọi $m$, hàm số luôn đồng biến. Do đó, GTLN ($a$) và GTNN ($b$) lần lượt đạt được tại các mút phải và mút trái của đoạn. Thiết lập phương trình $a+b=27$ và giải tìm $m^2$.
Bài toán tương tự
Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+2m^2}{x-2}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $a,b$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[3; 5]$. Tính tổng bình phương các giá trị $m$ để $a+b=16$.
**A.** $8$.
**B.** $12$.
**C.** $6$.
**D.** $18$.
**Đáp án đúng:** C. 6.
**Lời giải ngắn gọn:**
1. **Tính đạo hàm và xác định tính đơn điệu:** Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+2m^2}{x-2}$ có đạo hàm $y’ = \dfrac{1(x-2) – 1(x+2m^2)}{(x-2)^2} = \dfrac{-2 – 2m^2}{(x-2)^2}$.
2. Vì $-2 – 2m^2 < 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$, hàm số luôn nghịch biến trên đoạn $[3; 5]$.
3. **Xác định GTLN và GTNN:**
* GTLN ($a$) đạt tại $x=3$: $a = f(3) = \dfrac{3+2m^2}{3-2} = 3 + 2m^2$.
* GTNN ($b$) đạt tại $x=5$: $b = f(5) = \dfrac{5+2m^2}{5-2} = \dfrac{5+2m^2}{3}$.
4. **Giải phương trình:** $a+b=16$
$$(3 + 2m^2) + \left(\dfrac{5+2m^2}{3}\right) = 16$$
$$9 + 6m^2 + 5 + 2m^2 = 48$$
$$14 + 8m^2 = 48$$
$$8m^2 = 34$$
$$m^2 = \dfrac{34}{8} = \dfrac{17}{4} \quad \text{(Lỗi tính toán, cần điều chỉnh lại đề hoặc đáp án để ra số đẹp).}$$
*Chọn lại giá trị tổng $a+b=20$ để có kết quả đẹp:*
$$(3 + 2m^2) + \left(\dfrac{5+2m^2}{3}\right) = 20$$
$$9 + 6m^2 + 5 + 2m^2 = 60$$
$$14 + 8m^2 = 60$$
$$8m^2 = 46$$
$$m^2 = \dfrac{46}{8} = \dfrac{23}{4} \quad \text{(Vẫn chưa đẹp).}$$
*Chọn lại giá trị tổng $a+b=14$*
$$(3 + 2m^2) + \left(\dfrac{5+2m^2}{3}\right) = 14$$
$$14 + 8m^2 = 42$$
$$8m^2 = 28$$
$$m^2 = \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2} \quad \text{(Vẫn chưa đẹp).}$$
*Chọn lại hàm số:* $y = \dfrac{3x – m^2}{x+1}$. Interval: $[1, 3]$.
$y’ = \dfrac{3(x+1) – 1(3x-m^2)}{(x+1)^2} = \dfrac{3+m^2}{(x+1)^2} > 0$ (Đồng biến).
$b = f(1) = \dfrac{3-m^2}{2}$.
$a = f(3) = \dfrac{9-m^2}{4}$.
Cho $a+b = 6$: $\dfrac{9-m^2}{4} + \dfrac{3-m^2}{2} = 6$
$$9 – m^2 + 2(3 – m^2) = 24$$
$$9 – m^2 + 6 – 2m^2 = 24$$
$$15 – 3m^2 = 24$$
$$-3m^2 = 9$$ (Vô nghiệm, loại).
*Quay lại bài toán đầu tiên nhưng đổi dấu và giá trị cho đơn giản*
*New Function:* $y = \dfrac{x+m^2}{x-1}$. Interval: $[2, 4]$.
$y’ = \dfrac{-1-m^2}{(x-1)^2} < 0$ (Nghịch biến).
$a = f(2) = \dfrac{2+m^2}{1} = 2+m^2$.
$b = f(4) = \dfrac{4+m^2}{3}$.
Cho $a+b = 10$.
$$(2+m^2) + \dfrac{4+m^2}{3} = 10$$
$$6 + 3m^2 + 4 + m^2 = 30$$
$$10 + 4m^2 = 30$$
$$4m^2 = 20$$
$$m^2 = 5$$
*Đây là kết quả tốt, ta sẽ sử dụng bài toán này và sửa đáp án trắc nghiệm ban đầu.*
**Đề bài tương tự được chỉnh sửa:**
Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+m^2}{x-1}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $a,b$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$. Tính tổng bình phương các giá trị $m$ để $a+b=10$.
**A.** 3. **B.** 4. **C.** 5. **D.** 6.
**Đáp án đúng:** C. 5.
**Lời giải ngắn gọn:**
1. **Tính đạo hàm và xác định tính đơn điệu:** $y’ = \dfrac{-1-m^2}{(x-1)^2}$. Vì $y’ < 0$, hàm số luôn nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$.
2. **Xác định GTLN ($a$) và GTNN ($b$):**
* $a = f(2) = \dfrac{2+m^2}{2-1} = 2+m^2$.
* $b = f(4) = \dfrac{4+m^2}{4-1} = \dfrac{4+m^2}{3}$.
3. **Giải phương trình $a+b=10$:**
$$(2+m^2) + \dfrac{4+m^2}{3} = 10$$
$$6 + 3m^2 + 4 + m^2 = 30$$
$$10 + 4m^2 = 30$$
$$4m^2 = 20 \Rightarrow m^2 = 5.$$
4. Tổng bình phương các giá trị $m$ là $m^2 = 5$.