Hàm số $y=f(x)=-x^3+3x+2+m$, gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;3]$ lần lượt là $a,b$. Tìm $m$ để $a+b=6$?

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)=-x^3+3x+2+m$, gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;3]$ lần lượt là $a,b$. Tìm $m$ để $a+b=6$?

A. $1$.

B. $2$.

C. $0$.

D. $-2$.

Lời giải: $y(-1)=0+m,y(1)=4+m,y(-3)=20+m,y(3)=-16+m$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm tham số m dựa trên điều kiện liên quan đến giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc ba $y=f(x)+m$ trên một đoạn $[a;b]$.
Phương pháp giải:
1. Tách hàm số thành phần $g(x) = f(x) – m$ (phần không chứa m).
2. Tìm GTLN (M) và GTNN (m’) của $g(x)$ trên đoạn $[a;b]$ bằng cách xét các giá trị tại các điểm cực trị (nếu thuộc đoạn) và các giá trị tại hai đầu mút.
3. Khi đó, GTLN của $f(x)$ là $a = M + m$ và GTNN là $b = m’ + m$.
4. Thay các biểu thức của $a$ và $b$ vào điều kiện đề bài ($a+b=6$) để tìm giá trị của $m$. (Trong bài toán gốc: $M=20, m’=-16$. $a+b = (20+m)+(-16+m)=4+2m=6 \implies m=1$).

Bài toán tương tự

Hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+9x+5+m$, gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[0;4]$ lần lượt là $a,b$. Tìm $m$ để $a+b=15$?
A. $1$.
B. $0$.
C. $1/2$.
D. $-1/2$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn:
Xét hàm số $g(x) = x^3-6x^2+9x+5$ trên $[0;4]$.
Ta có $g'(x) = 3x^2 – 12x + 9$. Cho $g'(x)=0$, ta được $x=1$ và $x=3$. Cả hai điểm đều thuộc $[0;4]$.
Tính các giá trị:
$g(0) = 5$
$g(1) = 1-6+9+5 = 9$
$g(3) = 27-54+27+5 = 5$
$g(4) = 64-96+36+5 = 9$
Giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $M=9$. Giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ là $m’=5$.
Khi đó $a = 9+m$ và $b = 5+m$.
Theo điều kiện đề bài: $a+b=15 \implies (9+m) + (5+m) = 15 \implies 14 + 2m = 15 \implies 2m = 1 \implies m = 1/2$.