Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-4;1]$ tại điểm nào?

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-4;1]$ tại điểm nào? Biết hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây

A. -4.

B. -3.

C. 1.

D. -14.

Lời giải: $y=f(x)=-x^3-6x^2-9x+2$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn cho trước, sử dụng thông tin từ bảng biến thiên (BBT). Phương pháp giải là quan sát và so sánh các giá trị của hàm số ($f(x)$) tại các điểm mút của đoạn và tại các điểm cực trị (nếu có) nằm trong đoạn đang xét. GTNN là giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị này.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[-3; 2]$ như sau:

| x | -3 | -1 | 1 | 2 |
|—|—|—|—|—|
| f'(x) | | – | 0 | + | 0 | – | |
| f(x) | 5 | ↓ | 1 | ↑ | 4 | ↓ | 3 |

Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3; 2]$ tại điểm nào?

A. -3.
B. -1.
C. 1.
D. 2.

Đáp án đúng: B. -1.

Lời giải ngắn gọn:
Quan sát bảng biến thiên trên đoạn $[-3; 2]$, ta so sánh các giá trị của hàm số tại các điểm mút và các điểm cực trị thuộc đoạn:
1. Giá trị tại điểm mút: $f(-3) = 5$ và $f(2) = 3$.
2. Giá trị tại điểm cực trị thuộc đoạn: $f(-1) = 1$ (cực tiểu) và $f(1) = 4$ (cực đại).
So sánh các giá trị $5, 1, 4, 3$. Giá trị nhỏ nhất là $1$, đạt tại điểm $x = -1$.