Bài toán gốc
Hàm số $y= f(x) = 6x^4-3x^2-18$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-1, 8]$ bằng
A. $\max\limits_{x \in [-1, 8]} f(x) = 54$.
B. $\max\limits_{x \in [-1, 8]} f(x) = 24366$.
C. $\max\limits_{x \in [-1, 8]} f(x) = -\dfrac{147}{8}$.
D. $\max\limits_{x \in [-1, 8]} f(x) = -138$.
Lời giải: Trên đoạn $[-1, 8]$, ta có
Đạo hàm $f^{\prime}(x) = 24x^3-6x$.
Cho $f^{\prime}(x)= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=-\dfrac{1}{2}\\ x_2=0\\ x_3=\dfrac{1}{2}.\end{array}\right.$
Ta có $f(-1) = -15; f(8)= 24366; f(x_1) = -\dfrac{147}{8}; f(x_2) = -18; f(x_3) = -\dfrac{147}{8}.$
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là $\max\limits_{x \in [-1, 8]} f(x) = 24366$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số đa thức trên một đoạn đóng $[a, b]$. Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm: 1. Tính đạo hàm $f'(x)$. 2. Tìm các nghiệm $x_i$ của phương trình $f'(x)=0$ thuộc khoảng $(a, b)$. 3. Tính các giá trị $f(a)$, $f(b)$, và $f(x_i)$. 4. GTLN là giá trị lớn nhất trong các giá trị đã tính.
Bài toán tương tự
Hàm số $y = f(x) = x^4 – 4x^2 + 5$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0, 2]$ bằng bao nhiêu?|Lời giải ngắn gọn: Xét hàm số $f(x) = x^4 – 4x^2 + 5$ trên đoạn $[0, 2]$. Đạo hàm $f'(x) = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2)$. Cho $f'(x) = 0 ext{, ta có các nghiệm là } x = 0, x = ext{và } x = ext{}$. Các nghiệm thuộc đoạn $[0, 2]$ là $x = 0$ và $x = ext{}$. Tính giá trị tại các điểm cần xét: $f(0) = 5$; $f( ext{}) = 1$; $f(2) = 5$. So sánh các giá trị, ta có GTLN là 5. Đáp án: 5.