Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3$ km về phía Đông và $2$ km về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0{,}5$ km; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1$ km về phía Bắc và $1$ km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0{,}3$ km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 5,1
Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng thẳng lên trời (đơn vị đo lấy theo kilômét).
Khi đó $O(0; 0; 0)$, $A(2; 3; 0, 5)$, $B(-1;-1; 0, 3)$ lần lượt là vị trí xuất phát và vị trí của hai khinh khí cầu đối với hệ tọa độ đã chọn tại thời điểm được quan sát.
Gọi $M$ là vị trí đứng của người quan sát.
Gọi $B'(-1;-1;-0, 3)$ là điểm đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $(Ox y)$.
Ta có $MA+MB=MA+MB’$.
Suy ra $MA+MB$ nhỏ nhất khi $MA+MB’$ nhỏ nhất, nghĩa là khi và chỉ khi $A$, $B’$, $M$ thẳng hàng.
Gọi $M\left(x_M; y_M; 0\right)$, suy ra
$\overrightarrow{MA}=\left(2-x_M; 3-y_M; 0, 5\right), \overrightarrow{MB’}=\left(-1-x_M;-1-y_M;-0, 3\right). $
$A$, $B’$, $M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB’}$ cùng phương
$\Rightarrow \dfrac{-1-x_M}{2-x_M}=\dfrac{-1-y_M}{3-y_M}=\dfrac{-0, 3}{0, 5} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x_M=\dfrac{1}{8} \\ y_M=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow M\left(\dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{2}; 0\right). $
Khi đó $\min\limits (MA+MB)=\min\limits \left(MA+MB’\right)=AB’ \approx 5{,} 1$ km.