Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }}\) có 3 tiệm cận. Tìm số phần tử của \(S\).

Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }}\) có 3 tiệm cận. Tìm số phần tử của \(S\).

A. Vô số.

B. \(1\).

C. \(3\).

D. \(2\).

Lời giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{1 – \frac{3}{x}}}{{ – \sqrt {1 + \frac{m}{{{x^2}}}} }} = – 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 – \frac{3}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{m}{{{x^2}}}} }} = 1\)

Do đó, đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang là \(y = – 1\); \(y = 1\).

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì chỉ cần có thêm 1 tiệm cận đứng.

Trường hợp 1: \({x^2} + m = 0\) có nghiệm kép khác \(3\), nên \(m = 0\).

Trường hợp 2: \({x^2} + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm \({x_1} = 3\), nghiệm \({x_2} \ne 3\)Vì\({x_1} = 3 \Rightarrow {3^2} + m = 0 \Leftrightarrow m = – 9 \Rightarrow {x_2} = – 3\)

Suy ra \(m = – 9\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa ycbt.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận