Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0; – 1} \right)\).

B. \(M\left( {2;2} \right)\).

C. \(M\left( {4;3} \right)\).

D. \(M\left( {1; – 3} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận ngang là \({d_1}:y = 1 \Leftrightarrow y – 1 = 0\)

Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là \({d_2}:x = 2 \Leftrightarrow x – 2 = 0\)

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}}} \right) \in \left( C \right),\left( {{x_0} \ne 2;{x_0} > 0} \right)\), ta có tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

\(\begin{array}{l}d = d\left( {M,{d_1}} \right) + d\left( {M,{d_2}} \right) = \left| {\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}} – 1} \right| + \left| {{x_0} – 2} \right|\\ = \frac{4}{{\left| {{x_0} – 2} \right|}} + \left| {{x_0} – 2} \right| \ge 2\sqrt {\frac{4}{{\left| {{x_0} – 2} \right|}}.\left| {{x_0} – 2} \right|} = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\left| {{x_0} – 2} \right|}} = \left| {{x_0} – 2} \right| \Leftrightarrow {\left| {{x_0} – 2} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} – 2 = 2\\{x_0} – 2 = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4\left( N \right)\\{x_0} = 0{\mkern 1mu} \left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất bằng 4 khi \(M\left( {4;3} \right)\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận