Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình \(\left( {m – 2} \right){.3^{2{x^2} + 2x + \frac{5}{2}}} – 2\left( {m + 1} \right){.3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} + 2m – 6 = 0\) có nghiệm. Tổng các phần tử của \(S\) bằng
A. 12. B. 18. C. 20. D. 14.
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
\(\left( {m – 2} \right){.3^{2{x^2} + 2x + \frac{5}{2}}} – 2\left( {m + 1} \right){.3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} + 2m – 6 = 0\) \(\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {3^{{x^2} + x + \frac{5}{4}}} = {3^{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + 1}} \ge 3\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {m – 2} \right){t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t + 2m – 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {{t^2} – 2t + 2} \right) = 2{t^2} + 2t + 6\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{2{t^2} + 2t + 6}}{{{t^2} – 2t + 2}}\) \(\left( 2 \right)\) (vì \({t^2} – 2t + 2 \ne 0,\,\forall t\)).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \ge 3\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} + 2t + 6}}{{{t^2} – 2t + 2}}\) tại điểm có hoành độ \(t \ge 3\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} + 2t + 6}}{{{t^2} – 2t + 2}}\) với \(t \in \left[ {3\,;\, + \infty } \right)\) có:
\(f’\left( t \right) = \frac{{ – 6{t^2} – 4t + 16}}{{{{\left( {{t^2} – 2t + 2} \right)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{3}\,\,\,\left( {{\rm{loa\”i i}}} \right)\\t = – 2\,\left( {{\rm{loa\”i i}}} \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 2 < m \le 6\)\( \Rightarrow S = \left\{ {3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(3 + 4 + 5 + 6 = 18\).
Để lại phản hồi