Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 – x} \). Khi đó \(M.\,m\) bằng

Câu hỏi:

Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 – x} \). Khi đó \(M.\,m\) bằng

A. \(3\).

B. \(3 + 3\sqrt 2 \).

C. \(3\sqrt 2 \).

D. \(9\sqrt 2 \).

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 – x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 3\\x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 \le x \le 6\).

Ta có \(y’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} – \frac{1}{{2\sqrt {6 – x} }}\)\( = \frac{{\sqrt {6 – x} – \sqrt {x + 3} }}{{2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 – x} \right)} }} = \)\(\frac{{3 – 2x}}{{2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 – x} \right)} \left( {\sqrt {6 – x} + \sqrt {x + 3} } \right)}}\).

Khi đó \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3 – 2x = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ { – 3\,;\,6} \right]\).

Ta lại có \(y\left( { – 3} \right) = 3\); \(y\left( {\frac{3}{2}} \right) = 3\sqrt 2 \); \(y\left( 6 \right) = 3\).

Do đó \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \,\left[ { – 3\,;\,6} \right]} y = 3\sqrt 2 \) tại \(x = \frac{3}{2}\) và\(\mathop {\min }\limits_{x \in \,\left[ { – 3\,;\,6} \right]} y = 3\) tại \(x = 3\) và \(x = 6\).

Suy ra \(M = 3\sqrt 2 \), \(m = 3\). Vậy\(M.\,m = 9\sqrt 2 \).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số