Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} – 8\sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2019\) trên đoạn [0;2]. Tính \(M + m\)

Câu hỏi:

Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} – 8\sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2019\) trên đoạn [0;2]. Tính \(M + m\)

A. \(4026 + 8\sqrt 2 \).

B. \(4016\).

C. \(4022\).

D. \(4026 – 8\sqrt 2 \).

Lời giải

Chọn C

\(y = 4{x^2} – 8\sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2019\)\( = 2(2{x^2} + 3x + 2) – 8\sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 2015\)

Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} \). Hàm số đã cho trở thành \(y = f(t) = 2{t^2} – 8t + 2015\).

Ta có \(2{x^2} + 3x + 2 = 2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\).

\(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow x + \frac{3}{4} \in \left[ {\frac{3}{4};\frac{{11}}{4}} \right] \Rightarrow {\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} \in \left[ {\frac{9}{{16}};\frac{{121}}{{16}}} \right] \Rightarrow 2{x^2} + 3x + 2 \in \left[ {2;16} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\sqrt 2 ;4} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} y = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\sqrt 2 ;4]} f(t)\) và \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2]} y = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\sqrt 2 ;4]} f(t)\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = 4t – 8\) \( \Rightarrow f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left[ {\sqrt 2 ;4} \right]\).

Do \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2019 – 8\sqrt 2 \);\(f\left( 2 \right) = 2007\),\(f\left( 4 \right) = 2015\). Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} y = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\sqrt 2 ;4]} f(t) = f(4) = 2015\) và \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2]} y = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\sqrt 2 ;4]} f(t) = f(2) = 2007\)\( \Rightarrow M = 2015;m = 2007\) \( \Rightarrow M + m = 4022\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số