Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {4 – {x^2}} + {x^2}\left( {4 – {x^2}} \right) + 4x + 2007\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {2019;2024} \right)\).
B. \(\left( {2024;2028} \right)\).
C. \(\left( {2028;2032} \right)\).
D. \(\left( {2015;2019} \right)\).
Lời giải
Chọn B
TXĐ: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\).
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {4 – {x^2}} \right) + 2x\sqrt {4 – {x^2}} + 4\left( {x + \sqrt {4 – {x^2}} } \right) + 2007\).
Đặt \(t = x + \sqrt {4 – {x^2}} \).
Khi đó: \(t’ = 1 – \frac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\); \(t’ = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 – {x^2} = {x^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \).
Ta có \(t\left( { – 2} \right) = – 2\), \(t\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \), \(t\left( 2 \right) = 2\). Do đó \(t \in \left[ { – 2;2\sqrt 2 } \right]\).
Mặt khác, \({t^2} = 4 + 2x\sqrt {4 – {x^2}} \) \( \Rightarrow x\sqrt {4 – {x^2}} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}\) và \({x^2}\left( {4 – {x^2}} \right) = {\left( {\frac{{{t^2} – 4}}{2}} \right)^2}\).
Bài toán chuyển thành:
“ Tìm GTLN của hàm số \(g\left( t \right) = {\left( {\frac{{{t^2} – 4}}{2}} \right)^2} + {t^2} – 4 + 4t + 2007\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2\sqrt 2 } \right]\).’’
Ta có \(g’\left( t \right) = 2\left( {\frac{{{t^2} – 4}}{2}} \right).t + 2t + 4\)\( = {t^3} – 2t + 4\); \(g’\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {t^3} – 2t + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow t = – 2\).
Mặt khác, \(g\left( { – 2} \right) = 1999\) và \(g\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2015 + 8\sqrt 2 \).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) bằng \(\left( {2015 + 8\sqrt 2 } \right)\)\( \in \left( {2024;2028} \right)\) đạt tại \(x = \sqrt 2 \).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời