Đề:  Viết phuơng trình parabol $(P)$ có đỉnh là $A(1;-2)$ và $P$ chắn trên đường thẳng $(D):y=x+1 $ một dây cung $MN=\sqrt{34}$( đơn vị dài)

Đề bài:  Viết phuơng trình parabol $(P)$ có đỉnh là $A(1;-2)$ và $P$ chắn trên đường thẳng $(D):y=x+1 $ một dây cung $MN=\sqrt{34}$( đơn vị dài)

Lời giải

* Phương trình chùm parabol đỉnh $A(1;-2)$ là $(P):y=m(x-1)^2-2 (m\neq 0) (1)$
* Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(D)$ là $m(x-1)^2-2=x+1$
  $\Leftrightarrow mx^2-(2m+1)x-3+m=0          (2)$
  $\Delta=16m+1; \Delta>0 \Leftrightarrow m>-\frac{1}{16}    (3)$
Với $0 \neq m>-\frac{1}{16}$, phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ đó là hoành độ giao điểm $m,N$ của $(P)$ và $(D)$
* Từ $(2)$ suy ra $(x_1-x_2)^2=\frac{\Delta}{m^2}$
* $M,N \in (D) \Rightarrow y_1-y_2=(x_1+1)-(x_2+1)=x_1-x_2$
                               $ \Rightarrow (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=2(x_1-x_2))^2$
$\Rightarrow MN^2=2\frac{\Delta}{m^2}  \Leftrightarrow \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{MN=\sqrt{34}}  \frac{2\Delta}{m^2}=34 \Leftrightarrow 17m^2-16m-1=0 \Leftrightarrow {m=1;m=-\frac{1}{17}}$ ( thích hợp đk $3$)
  Thay các giá trị vừa tìm được của $m$ vào $(1)$, ta lại có hai phương trình parabol cần tìm là:
  $(P): y=x^2-2x-1$       ( ứng với $m=1$)
  $(P): y=-\frac{1}{17}(x^2-2x+35)$   ( ứng với $m=-\frac{1}{17}$)