Đề: Cho parabol $(P): y=x^{2}+x-1$a) Điểm $M(-1;-1)$ và điểm $N(2;3)$ có thuộc parabol (P) không ?b) Qua điểm N viết phương trình đường thẳng (d) sao cho (d) và (P) có giao điểm kép.

Đề bài: Cho parabol $(P): y=x^{2}+x-1$a) Điểm $M(-1;-1)$ và điểm $N(2;3)$ có thuộc parabol (P) không ?b) Qua điểm N viết phương trình đường thẳng (d) sao cho (d) và (P) có giao điểm kép.

Lời giải

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị điểm G. Điểm $M(x_{0};y_{0}) \in G\Leftrightarrow   y_{0}=f(x_{0})$
Có parabol $(P): y=x^{2}+x-1$
a) Với $x=-1$ thì $y=(-1)^{2}-1-1=-1$ nên $M(-1;-1)\in (P)$
Với $x=2$ thì $y=2^{2}+2-1=5\neq 3$ nên $N(2;3)\notin (P)$

b) Đường thẳng $x=2$ luôn cắt $(P)$ nên không thể có giao điểm kép
$\Rightarrow (d) $đi qua $N(2,3)$ có phương trình $y=k(x-2)+3, (d)$ có giao điểm kép với $(P)$ khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$
$x^{2}+x-1=k(x-2)+3$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow x^{2}+(1-k)x+2k-4=0$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \Delta=0\Leftrightarrow (1-k)^{2}-4(2k-4)=0$
$\Leftrightarrow k^{2}-10k+17=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5-2\sqrt{2}\\k = 5+2 \sqrt{2}   \end{array} \right.$

Vậy ta có hai đường thẳng đi qua $N(2;3)$
$y=(5-2\sqrt{2})(x-2)+3 ;    y=(5+2 \sqrt{2} )(x-2)+3$