Đề bài: Viết phương trình parabol $(P)$, biết rằng $(P)$ đi qua điểm $A(1;5)$ và luôn cắt parabol $(P_m): y=(m-1)x^2+x-3x+1$ tại các điểm cố định
Lời giải
* $(x_0;y_0)$ là hai điểm cố định của $(P_m) \Leftrightarrow $ phương trình sau nghiệm với mọi $m$:
$y_0=(m-1)x^2_0+x_0-3m+1 \Leftrightarrow (x_0^2-3)m=y_0+x_0^2-x_0-1$. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases}x_0^2-3=0 \\ y_0+x_0^2+x_0-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_0^2-3=0 \\ y_0=x_0-2 \end{cases}$
$\Rightarrow y_0=a(x_0^2-3)+x_0-2 \Rightarrow $ phương trình parabol $(P)$ cắt parabol $(P_m)$ pahir có dạng $y=a(x^2-3)+x-2 (2)$
* $(P)$ đi qua điểm $A(1;5) \Rightarrow $ Tọa độ điểm $A$ thỏa mãn phương trình $(1)$
$\Rightarrow a(1^2-3)+1-2=5 \Leftrightarrow a=-3$ ( thích hợp)
Thay $a=-3$ vào $(2)$ có $y=-3(x^2-3)+x-2 \Leftrightarrow y=-3x^2+x+7 (3)$
Thấy rằng $(1)$ luôn có hai nghiệm đới với $x_0$ nên $(3)$ là phương trình parabol cần tìm
Trả lời