Đề: Tìm miền giá trị của hàm số $f(x)=\frac{x^2+4\sqrt{2}x+3 }{x^2+1} $

Đề bài: Tìm miền giá trị của hàm số $f(x)=\frac{x^2+4\sqrt{2}x+3 }{x^2+1} $

Lời giải

Dễ thấy hàm số $f(x)$ xác định $\forall x\in \mathbb{R} .$ Gọi $y_{0}$ là một giá trị tùy ý của hàm số. Như vậy phương trình sau đây (ẩn $x$) phải có nghiệm:$\frac{x^2+4\sqrt{2}x+3 }{x^2+1} =y_{0}                                   (1)$
Vì $x^2+1>0     \forall x$ nên:
$(1) \Leftrightarrow  x^2 + 4\sqrt{2}x + 3 = y_0x^2 + y_0$
       $\Leftrightarrow (y_0 – 1)x^2 – 4\sqrt{2}x + y_0 – 3 = 0$                                                $(3)$
$1.$ Nếu $y_0 = 1$, thì $(3)$ có dạng:
$-4\sqrt{2}x – 2 = 0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
Tức là  $(3)$ có nghiệm, nên $(2)$ có nghiệm
$2.$ Nếu   $ y_0 \neq 1$, khi đó $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi :
$\Delta^’ = (2\sqrt{2} )^2 – (y_0 – 1) (y_0 – 3) \geq 0$
$\Leftrightarrow y^2_0 – 4y_0 – 5 \leq  0 \Leftrightarrow  – 1 \leq  y_0 \leq  5   (y_0 \neq 1)$
Từ đó suy ra miền giá trị của hàm số là $[-1, 5]$