Đề: Tìm $m$ để $Q=x^2+4y^2+my+3 \geq 0, \forall x \in R, \forall y\in R$

Đề bài: Tìm $m$ để $Q=x^2+4y^2+my+3 \geq 0, \forall x \in R, \forall y\in R$

Lời giải

* Xem $Q$ là tam thức bậc hai đới với ẩn $x, \Delta’=-(4y^2+my+3)$
Ta thấy $Q\geq 0, \forall x\in R, \forall y \in R \Leftrightarrow \Delta’ \leq 0, \forall y\in R \Leftrightarrow 4y^2+my+3 \geq 0, \forall y \in R$
Gọi $f(y)=4y^2+my+3, \delta=m^2-16.3$. Theo $(I) : f(y)=4(y+\frac{m}{8})^2-\frac{\delta}{16}$
* $f(y) \geq 0, \forall y \in R \Leftrightarrow \delta \leq 0 \Leftrightarrow m^2-3.16 \leq 0 \Leftrightarrow m^2\leq 16.3 \Leftrightarrow -4\sqrt{3} \leq m\leq 4\sqrt{3}$
Đó là tập hơp các giá trị của $m$ mà ta cần tìm.