====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức \(T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) có giá trị nhỏ nhất.
- A. \(\left( P \right):x + 2y + 3z – 14 = 0\)
- B. \(\left( P \right):6x – 3y + 2z – 6 = 0\)
- C. \(\left( P \right):6x + 3y + 2z – 18 = 0\)
- D. \(\left( P \right):3x + 2y + 3z – 10 = 0\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)
Do đó phương trình mp (P) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)
Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc và gọi H là trực tâm\(\Delta ABC\): \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Do đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}}\) nhỏ nhất hay \(O{H^2}\) lớn nhất.
\(OH = d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow OH = \frac{{\left| { – 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} \Rightarrow O{H^2} = \frac{1}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\)
Theo Bunhiacopski ta có: \(1 = {\left( {1.\frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c}} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{a}}} = \frac{2}{{\frac{1}{b}}} = \frac{3}{{\frac{1}{c}}} \Leftrightarrow a = 2b = 3c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 14}\\{b = 7}\\{c = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{\frac{{14}}{3}}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z – 14 = 0\)
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời