Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 16.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;6;2} \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 4y + z – 11 = 0\) và tiếp xúc với (S).

(S) có tâm \(I\left( {1; – 3;2} \right)\) và bán kính R=4, VTPT của \(\left ( \alpha \right )\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;4;1} \right).\)  

Suy ra VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_p}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow v } \right] = \left( {2; – 1;2} \right) \Rightarrow\) PT của (P) có dạng: \(2x – y + 2z + m = 0\) 

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên: \(d\left( {I,(P)} \right) = R\) 

  \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| {2.1 + 3 + 2.2 + m} \right|}}{3} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 9 = 12\\ m + 9 = – 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = – 21 \end{array} \right. \end{array}\) 

Vậy \(\left( P \right):2x – y + 2z + 3 = 0\)  hoặc \(\left( P \right):2x – y + 2z – 21 = 0.\)