Đề: Tính đạo hàm của hàm số:a) $y = \ln |x+ \sqrt{x^2 +1}| $;                                b) $y = \ln |\frac{\cos x + \sin x}{\cos x – \sin x}|; $b) $y = \ln |\tan \frac{x}{2}|; $                                            d) $y = \ln \left (\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} \right) $

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số:a) $y = \ln |x+ \sqrt{x^2 +1}| $;                                b) $y = \ln |\frac{\cos x + \sin x}{\cos x – \sin x}|; $b) $y = \ln |\tan \frac{x}{2}|; $                                            d) $y = \ln \left (\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} \right) $

Lời giải

a) $y = \ln |x+ \sqrt{x^2 +1}| \Rightarrow  y’ =\frac{(x+ \sqrt{x^2+1 })’}{x+\sqrt{x^2+1 } } = \frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{ x^2+1} } }{x+\sqrt{x^2+1 } } = \frac{1}{\sqrt{ x^2+1} }   $;           

b) $y = \ln |\frac{\cos x + \sin x}{\cos x – \sin x}|  \Leftrightarrow  y = \ln|\cos x + \sin x| – \ln | \cos x – \sin x|$
Do dó $y’ = \frac{(\cos x + \sin x)’}{\cos x + \sin x} – \frac{(\cos x – \sin x)’}{\cos x – \sin x}$
$= \frac{-\sin x + \cos x}{\cos x + \sin x} – \frac{- \sin x – \cos x}{\cos x – \sin x} = \frac{2}{\cos 2x} $

c)
$y = \ln |\tan \frac{x}{2}| \Rightarrow  y’ = \frac{\left ( \tan \frac{x}{2} \right)’ }{\tan \frac{x}{2} } = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}. \tan \frac{x}{2} } = \frac{1}{\sin x}   
$      

d) Điều kiện  $\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} > 0  \Leftrightarrow  x \in (- \infty  ; -2) \cup  (1;2) \cup  (4; + \infty )$ 
Với điều kiện đó ta có $\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} > 0$ nên:
$y = \ln \left
(\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} \right)  \Rightarrow   y = \ln |\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8}| \Rightarrow   y = \ln |x^2+x-2|-\ln|x^2-6x+8|$
Do đó $y’ = \frac{2x+1}{x^2+x-2} – \frac{2x-6}{x^2-6x+8} = \frac{-7x^2+20x-4}{(x^2+x-2)(x^2-6x+8)}   $