Đề bài: Tìm tất cả các cặp số dương $(x, y)$sao cho biểu thức: $f(x,y) = \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} -( {\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}} ) + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải
Cách 1. Ta có
$f(x,y) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} – 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} – 1} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{y} – \frac{y}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2} \right) + 2 $
$ \ge 2\,{\rm{ (do }}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2)$
Vậy ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{in}}f(x,y) = 2$, đạt được khi $x = y$
Cách 2. Ta có
$f(x,y) = {\left[ {{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)}^2} – 2} \right]^2} – {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)$ $(1)$
Đặt $\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = t \ge 2$, khi đó $(1)$ trở thành
$f(t) = {({t^2} – 2)^2} – {t^2} + t = {t^4} – 5{t^2} + t + 4 {\rm{ (t}} \ge {\rm{2)}}$
Ta có $f'(t) = 4{t^3} – 10t + 1,{\rm{ f”(t)}} = 12{t^2} – 10$
Do $t \ge 2$ nên $f”(t) \ge 0$ suy ra $f'(t)$ tăng.
$ \Rightarrow f'(t) \ge f'(2) = 13 > 0$ suy ra $f(t)$ tăng, từ đó $f(t) \ge f(2) = 2$.
Vậy $\min f(x,y) = \min f(t) = 2$ đạt được khi $t = 2$, tức là đạt được khi $x = y$
Trả lời