• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề: Tìm tất cả các cặp số dương $(x, y)$sao cho biểu thức: $f(x,y) = \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} -( {\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}} ) + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Đăng ngày: 12/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

ham so
Đề bài: Tìm tất cả các cặp số dương $(x, y)$sao cho biểu thức: $f(x,y) = \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} -( {\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}} ) + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải

Cách 1. Ta có
$f(x,y) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} – 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} – 1} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{y} – \frac{y}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2} \right) + 2 $           
             $ \ge 2\,{\rm{ (do }}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2)$
Vậy ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{in}}f(x,y) = 2$,   đạt được khi $x = y$

Cách 2. Ta có
$f(x,y) = {\left[ {{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)}^2} – 2} \right]^2} – {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)$        $(1)$
Đặt $\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = t \ge 2$, khi đó $(1)$ trở thành
$f(t) = {({t^2} – 2)^2} – {t^2} + t = {t^4} – 5{t^2} + t + 4        {\rm{ (t}} \ge {\rm{2)}}$

Ta có $f'(t) = 4{t^3} – 10t + 1,{\rm{  f”(t)}} = 12{t^2} – 10$
Do $t \ge 2$ nên $f”(t) \ge 0$ suy ra $f'(t)$ tăng.
$ \Rightarrow f'(t) \ge f'(2) = 13 > 0$ suy ra $f(t)$ tăng, từ đó $f(t) \ge f(2) = 2$.
Vậy $\min f(x,y) = \min f(t) = 2$ đạt được khi $t = 2$, tức là đạt được khi $x = y$

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Bài liên quan:

  1. Đề:   Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:        $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
  2. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:        $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$
  3. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0
  4. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$
  5. Đề: Tìm GTLN của:a)$y=x(a-2x)^{2}, 0 \leq  x \leq  \frac{a}{2} $                              b) $y=\ sin^{2}x\cos x $
  6. Đề: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$.
  7. Đề: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha  – 2x + \cos\alpha }}{{x^2 – 2x\cos\alpha  + 1}},\alpha  \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$
  8. Đề: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất
  9. Đề: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.
  10. Đề:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
  11. Đề: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$
  12. Đề: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :       $A=16ab(a-b)^2$
  13. Đề:   Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:         $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$
  14. Đề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?
  15. Đề: Cho hàm số :  $y= \frac{ \sin x + 2 \cos x +3}{ 2 \sin x+\cos x +3}.$  Tìm  $max  y  , min  y.$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.