Đề: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} – 3(m + 1){x^2} + 6mx – m – 1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} – 3(m + 1){x^2} + 6mx – m – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 6{x^2} – 6(m + 1)x + 6m;\forall x \in \mathbb{R}.\)

Phương trình \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – m) = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m\end{array} \right.\)

Do hệ số của \({x^3}\) nên ta sẽ có hai trường hợp sau:

TH1. Nếu \({x_1} = 1 > {x_2} = m \Leftrightarrow m 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\(2m – 2)(3{m^2} – {m^3} – m – 1) m > 0\\{m^3} – 3{m^2} + m + 1)

TH2. Nếu \({x_1} = 1 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\(2m – 2)(3{m^2} – {m^3} – m – 1) 1\\{m^3} – 3{m^2} + m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 1 + \sqrt 2  \Rightarrow m \in (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\end{array}\)