[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 45:Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(2f\left( {f\left( x \right)} \right) = m\) có \(4\) nghiệm phân biệt \(x \in \left[ { – 4;0} \right]\)

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 45:Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(2f\left( {f\left( x \right)} \right) = m\) có \(4\) nghiệm phân biệt \(x \in \left[ { – 4;0} \right]\)

\(1\).
B. \(2\).
C. \(5\).
D. \(7\)
Lời giải
\(2f\left( {f\left( x \right)} \right) = m \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{m}{2}\)
Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { – 4;0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Xét phương trình \(f\left( t \right) = \frac{m}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)
• Nếu \(\frac{m}{2} = 4 \Leftrightarrow m = 8\) thì phương trình có\(f\left( t \right) = \frac{m}{2}\) có đúng \(1\) nghiệm \(t = 1\)
Suy ra phương trình đã cho có \(2\) nghiệm \(x \in \left[ { – 4;0} \right]\) (ta loại trường hợp này)
• Nếu \(\frac{m}{2} = 3 \Leftrightarrow m = 6\) thì phương trình có\(f\left( t \right) = \frac{m}{2}\) có đúng \(2\) nghiệm \({t_1} = 0\)và \({t_2} = 2\).
+ Với \({t_1} = 0\) Phương trình đã cho có \(1\) nghiệm
+ Với \({t_2} = 2\) Phương trình đã cho có \(2\) nghiệm
Suy ra phương trình đã cho có \(3\) nghiệm \(x \in \left[ { – 4;0} \right]\) (ta loại trường hợp này)
• Nếu \(3 < \frac{m}{2} < 4 \Leftrightarrow 6 < m < 8\) thì phương trình có\(f\left( t \right) = \frac{m}{2}\) có đúng \(2\) nghiệm \({t_3} \in \left( {0;1} \right)\) và \({t_4} \in \left( {1;2} \right)\) Mỗi nghiệm \({t_3},{t_4}\) cho ta hai nghiệm. Vậy Phương trình đã cho có \(4\) nghiệm • Các trường hợp \(\frac{m}{2} > 4\) hoặc \(\frac{m}{2} < 3\) xét tương tự và không thỏa đề bài. Kết luận vậy có duy nhất \(1\) giá trị nguyên \(m = 7\) thỏa yêu cầu đề bài.