Đề bài: Tìm GTNN của hàm số: $y = \frac{1}{sinx} + \frac{1}{{\cos x}}$ với $0 < x < \frac{\pi }{2}$
Lời giải
$y = \frac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} + \frac{1}{{\cos x}} =
\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi
}{4}} \right)$
Thì ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x$
Giả thiết:
$0 \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\left. {\frac{1}{{\sqrt 2 }};1}
\right]} \right.$
$ \Rightarrow 1 x)}}{{2\sin x.\cos x}} = \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}}$
Xét $f(t) = \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} \,\,\forall t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
$f’(t)=\frac{-2t^2-2}{(t^2-1)^2} Hàm số $f(t)$ nghịch biến trong khoảng này $ \Rightarrow \min y = \mathop {{\mathop{\rm
m}\nolimits} {\rm{inf}}(t)}\limits_{t \in (1;\sqrt 2 {\rm{]}}} = f(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 $
Trả lời