Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: $y = 2(1 + \sin 2x.cos4x) – \frac{1}{2}\left( {cos4x – cos8x} \right)$
Lời giải
Ta có: $y = 2(1 + \sin 2x.cos4x) – \frac{1}{2}\left( {cos4x – cos8x} \right)$
$=2+2.sin2x.cos4x-sin6x.sin2x=2+sin2x(2cos4x-sin6x)$
Đặt $t=sin2x(-1\leq t\leq 1)$
khi đó $y=2+t[2(1-2t^2)-3t+4t^3]=$$4t^4-4t^3-3t^2+2t+2$
Đặt $f(t)=4t^4-4t^3-3t^2+2t+2$;
Ta có : $f(t)=2(t-1)(2t+1)(4t-1)$
Với $t\in [-1;1], f^/(t)$ có các nghiệm $t=1;t=\frac{-1}{2};t=\frac{1}{4} $. Do đó để tìm GTNN và GTLN của $f(t)$ trên đoạn này ta chỉ cần xét các giá trị :
$f(-1);f(1);f(\frac{-1}{2} )$ và $f(\frac{1}{4} )$ .
Từ đó tính được $maxy=5$ khi $t=-1\Leftrightarrow\sin 2x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{4}+k\pi, k\in Z$
$miny=1$ khi $ t=1\Leftrightarrow \sin 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z$
Trả lời