Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\sqrt{x^2+y^2+2x-4y+5}+\sqrt{x^2+y^2-6x-4y+13} $
Lời giải
Viết lại biểu thức dưới dạng:
$S=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} $
Xét các điểm $A(-1;2), B(3;2), M(x;y)$, khi đó:
$AM=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}, BM=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} $
$\Rightarrow S=AM+BM\geq AB=4$.
Vậy ta được $S_{min}=4$
Dấu = đạt được khi $A, B, M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}//\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{0} \Leftrightarrow y=2 $
Và khi đó:
$S=|x+1|+|x-3|=|x+1|+|3-x|\geq |x+1+3-x|=4$
Dấu “=” xảy ra khi $(x+3)(3-x)\geq 0\Leftrightarrow -1\leq x \leq 3$
Vậy ta có $S_{min}=4$ đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l} -1\leq x \leq 3\\ y=2 \end{array} \right. $
Trả lời