Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$trong đó, các số dương $a,b,c $ thỏa mãn điều kiện $a+b+c\geq 3$
Lời giải
Đặt $A=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$
Ta có: $A^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+2\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+2\frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $4$ số dương ta được:
$\frac{a^2}{b}+\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+c\geq 4a (1)$
$\frac{b^2}{c}+\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}+}\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+a\geq 4b (2)$
$\frac{c^2}{a}+\frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+b\geq 4c (3)$
Cộng từng vế của $(1),(2),(3)$ ta suy ra:
$A^2\geq 3(a+b+c)\geq 9\Rightarrow A\geq 3$.
Từ đó suy ra $A_{\min}=3$ đạt được khi:
$a=b=c=1$
Trả lời