Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$, với $-\pi
Lời giải
Biến đổi hàm số về dạng:
$(2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y (1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
$(2y-1)^2+(y+2)^2\geq (3-4y)^2\Leftrightarrow 11y^2-24y+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\leq y \leq 2$.
Vậy, ta có:
– $y_{\max}=2$, đạt được khi :
$3\cos x-4\sin x=-5\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=1 (\frac{3}{5}=\sin \alpha; \frac{4}{5}=\cos \alpha)$
$x-\alpha =\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$.
– $y_{\min}=\frac{2}{11}$, đạt được khi:
$7\cos x +24\sin x=-25\Leftrightarrow \cos (x-\beta)=-1 . (\frac{7}{25}=\cos \beta ; \frac{24}{25}=\sin \beta)$
$\Leftrightarrow x-\beta =\pi+2k\pi\Leftrightarrow x=\beta+\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$
Trả lời