Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:a) $y=5\sqrt{1+\cos x}-2 $ b) $y=|\tan x +\cot x |$c) $y=3+\frac{1}{5} \sin x. \cos x $ d) $y=\frac{1}{\sin^2 x+ 2 \sin x+2} $
Lời giải
a) Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$ nên $0 \leq 5\sqrt[]{1+\cos x} \sqrt[]{5\sqrt[]{2} } $
Vậy $-2 \leq 5 \sqrt{1+\cos x} -2 \leq 5\sqrt{2} -2 $
Do đó GTLN của $y$ của $5\sqrt{2}-2 $
GTNN của $y$ là $-2$.
b) $y=|\tan x + \cot x|= |\frac{\sin x}{\cos x}+ \frac{\cos x}{\sin x}|= |\frac{1}{\sin x \cos x} |= \frac{2}{|\sin 2x|} $
Vì $|\sin 2x| \leq 1$ nên GTNN của $y$ là $2$. Không có GTLN.
c) $y=3+\frac{1}{5}\sin x \cos x = 3+\frac{1}{10 \sin 2x} $
Vì $-\frac{3}{10} \leq y \leq 3+ \frac{1}{10} $
Vậy GTLN của $y$ là $\frac{31}{10} $ và GTNN của $y$ là $\frac{29}{10}$.
d) Đặt $y=\frac{1}{t} $ với $t=\sin^2x + 2\sin x+2=(\sin x+1)^2+1$
Suy ra $t_{max}=5$ khi $\sin x =1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi, t _{min}=1 $ khi $\sin x=-1$
Vậy $y_{max}=\frac{1}{t_ {min }}=\frac{1}{1} =1; y _{min}=\frac{1}{ t_ {max}}=\frac{1}{5} $
Trả lời