Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
Lời giải
a) Hàm số $f(x)=x^2 \ln x$ liên tục trên đoạn $[1;e]$ và có đạo hàm
$f'(x)=2x \ln x+x^2 .\frac{1}{x}=x(2 \ln x+1), x\in [1;e]$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\notin (1;e)$ hoặc $x=\frac{1}{\sqrt{e } }\notin [1;e]$
và $f'(x) >0 \forall x \in [1;e]$ nên $f(x)$ là hàm đồng biến trên $ [1;e]$.
Ta có $f(1)=0; f(e)=e^2.$
Vậy, $\mathop {\max }\limits_{x\in [1;e] } f(x)=e^2$ khi $x=e$ và $\mathop {\min }\limits_{x\in [1;e] }f(x) =0$ khi $x=1.$
b) Hàm số $f(x)=x.e^{-x}$ liên tục trên nửa khoảng $[0;+\infty )$ và có đạo hàm
$f'(x)=e^{-x}-x.e^{-x}=e^{-x}(1-x), x\in [0;+\infty )$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Vậy,$ \mathop {\min}\limits_{x\in [0;+\infty)}f(x)=0$ khi $x=0$ và $\mathop {\max }\limits_{x\in [1;+\infty) }f(x)=\frac{1}{e} $ khi $x=1$
Trả lời