Đề:   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=[\frac{12x(x-a)}{x^2+36}]^\frac{3}{4}$

Đề bài:   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=[\frac{12x(x-a)}{x^2+36}]^\frac{3}{4}$

Lời giải

Giải
Hàm số xác định khi $x(x-a) \geq 0$
Đặt $z=\frac{12x(x-a)}{x^2+36}   (1)$ thì $y=\sqrt[4]{z^3}$ và $z \geq 0$
Ta tìm $\max z$
$z_0$ thuộc miền giá trị của hàm số $(1)$ khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm: $z_0=\frac{12x(x-a)}{x^2+36}$
                               $\Leftrightarrow (12-z_0)x^2-12ax-36z_0=0$ có nghiệm $(2)$
* $z_0=12 : (2) \Leftrightarrow ax=-36$ có nghiệm khi $a\neq0$
* $z_0\neq 12 : (2)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta=36x^2+36z_0(12-z_0) \geq 0$
        $\Leftrightarrow a^2+12z_0-z_0^2 \geq0 \Leftrightarrow z_0^2-12z_0-a^2\leq0$
        $\Leftrightarrow 6-\sqrt{36+a^2}\leq z_0 \leq 6+\sqrt{36+a^2}$
Vì $z_0 \geq 0$ nên $0 \leq x \leq 6+\sqrt{36+a^2}$
Vậy $\max z=6+\sqrt{36+a^2} \max y=\sqrt[4]{(6+\sqrt{36+a^2})^3}$