Đề: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1,2,3. Hãy tính tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi \(I\left( {a;a;a} \right)\) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R = a. \( \Rightarrow \) phương trình mặt cầu quả bóng là

\(\left( S \right):{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – a} \right)^2} + {\left( {z – a} \right)^2} = {a^2}\)  \(\left( 1 \right)\)

Giả sử \(M\left( {x,y,z} \right)\) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho  \(d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1,d\left( {M;\left( {Oyz} \right)} \right) = 2,d\left( {M;\left( {Oxz} \right)} \right) = 3\)

Khi đó \(z = 1;x = 2;y = 3 \Rightarrow M\left( {2;3;1} \right) \in \left( S \right)\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) suy ra \({\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {2 – a} \right)^2} + {\left( {3 – a} \right)^2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = {a_1} = 3 + \sqrt 2 \\{R_2} = {a_2} = 3 – \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow {d_1} + {d_2} = 2\left( {{R_1} + {R_2}} \right) = 12.\)