Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên $ \ge 2$ và $a > 0$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum\limits_{i = 1}^{n – 1} x_ix_{i + 1} $Trong đó $x_i\ge 0(i = 1,2,…,n),x_1 + x_2+ … + x_n = a$
Lời giải
Giả sử ${x_k} = m{\rm{ax}}\left( {{x_1},{x_2},…,{x_n}} \right)$, khi đó ta có:
$\begin{array}{l}
\sum\limits_{i = 1}^{n – 1} {{x_i}{x_{i + 1}} = } \sum\limits_{i = 1}^{k – 1} {{x_i}{x_{i + 1}} + \sum\limits_{i = k}^{n – 1} {{x_i}{x_{i + 1}}} } \\ \le {x_k}\sum\limits_{i = 1}^{k – 1} {{x_i} + } {x_k}\sum\limits_{i = k + 1}^{n – 1} {{x_i} = {x_k}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} – {x_k}} } \right)} = {x_k}(a – {x_k})
\end{array}$
$ \le {\left[ {\frac{{{x_k} + (a – {x_k})}}{2}} \right]^2} = \frac{{{a^2}}}{4}$ (theo bất đẳng thức Côsi)
Vậy $m{\rm{ax}}\sum\limits_{i = 1}^{n – 1} {{x_i}{x_{i + 1}} = \frac{{{a^2}}}{4}} $ đạt được chẳng hạn khi ${x_1} = {x_2} = \frac{a}{2},{\rm{ }}{{\rm{x}}_3} = {x_4} = … = {x_n} = 0$
Trả lời