Đề: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC là:

 

Gọi M là trung điểm BC. Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM \bot BC}\\{A’G \bot BC}\end{array} \Rightarrow CB \bot \left( {AA’M} \right)} \right.\)

Trong \(\left( {AA’M} \right)\) dựng \(MH \bot AA’ \Rightarrow MH\) là đường vuông góc chung của AA’ và BC.

Có \({V_{lt}} = {S_d}.A’G \Rightarrow A’G = \frac{V}{S} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a \Rightarrow AA’ = \sqrt {A'{G^2} + A{G^2}}  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác AA’M có: \(A’G.AM = MH.AA’ \Rightarrow HM = \frac{{AG.AM}}{{AA’}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3a}}{4}\)