Đề: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A'}{B'}{C'}\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và \({B'}{C'}.\) Mặt phẳng \(\left( {{A'}NM} \right)\) cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện \(MBP.{A'}{B'}N\) bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

Khi đó MF//AE mà AE//\(A’N\) nên MF//\(A’N\).

Suy ra các điểm \(A’,M,F,N\) thuộc cùng một mặt phẳng.

Vậy \(\left( {A’MN} \right)\) cắt cạnh BC tại P nên P trùng với F.

“Thể tích khối chóp cụt là \(V = \frac{h}{3}\left( {B + B’ + \sqrt {BB’} } \right)\) với h là chiều cao; B, B’ lần lượt là diện tích hai đáy”.

Xét khối chóp cụt \(MBP.A’B’N\) có chiều cao \(h = BB’ = a.\)

Và diện tích đáy \(\left\{ \begin{array}{l}B = {S_{MBP}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{8} = \frac{S}{8}\\B’ = {S_{A’B{\rm{‘}}N}} = \frac{{{S_{A’B’C’}}}}{2} = \frac{S}{2}\end{array} \right.\) với \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy thể tích khối đa diện \(MBP.A’B’N\) là \(V = \frac{{BB’}}{3}\left( {\frac{S}{8} + \frac{S}{2} + \sqrt {\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} } \right) = \frac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{96}}.\)