Đề: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Biết \(AB'\) tạo với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^o}\) và \(AB' = 6{\rm{a}}.\) Tính thể tích V của khối đa diện \(A'B'C'AC.\)

Gọi H là hình chiếu của B’ lên (ABC).

Ta có: \(\widehat {B’AH} = {30^o}.\)

\(\begin{array}{l}B’H = AB.\sin {30^o} = 6{\rm{a}}.\frac{1}{2} = 30\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{\left( {3a} \right)^2}.\sin {60^o} = \frac{{9{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4}.\\{V_{ABC.A’B’C’}} = B’H.{S_{ABC}} = 3{\rm{a}}.\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{B’.ABC}} = \frac{1}{3}.B’H.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}}\end{array}\)

Thể tích khối đa diện \(A’B’C’AC\) là:

\(\begin{array}{l}{V_{A’B’C’AC}} = {V_{ABC.A’B’C’}} – {V_{B’ABC}} = {V_{ABC.A’B’C’}} – \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}}\\ = \frac{2}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{2}{3}.\frac{{27{a^3}\sqrt 3 }}{{27}} = \frac{{9{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)