Đề: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HB = 2HA.\) Cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc bằng \({60^o}.\) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC. 

Ta có: \(HC = \frac{{a\sqrt {13} }}{3};\,\,\,SH = HC.\tan {60^o} = \frac{{a\sqrt {39} }}{3}\).

Gọi I là hình chiếu của H lên SB, khi đó:

\(d\left( {A{\rm{D}},SC} \right) = d\left( {A{\rm{D}},\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}HI\)

Trong tam giác vuông SHB:

\(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{{\rm{S}}^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow HI = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{{13}}{{129}}}  \Rightarrow d\left( {A{\rm{D}},SC} \right) = 3{\rm{a}}\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\)