Đề bài: Cho hàm số: $y=\sqrt{x^{2}-8x+32}+\sqrt{x^{2}-6x+18}$Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$.
Lời giải
Ta có: $x^{2}-8x+32=(x-4)^{2}+16>0 \forall x.$
$x^{2}-6x+18=(x-3)^{2}+9>0 \forall x.$
Tập xác định $D_{y}=R$
Xét hai điểm sau: $\begin{cases} A(x-4;-4) \\ B(x-3;3)\end{cases} $
$\Rightarrow \begin{cases} OA=\sqrt{x^{2}-8x+32} \\ OB=\sqrt{x^{2}-6x+18} \\AB= \sqrt{1^{2}+7^{2}}=5\sqrt{2}\end{cases} $
Do $OA+OB\geq AB$ và dấu “=” xảy ra khi $\overrightarrow {OA} $ cùng phương với $\overrightarrow {OB}$,tức là:
$ \sqrt{x^{2}-8x+32}+\sqrt{x^{2}-6x+18} \geq 5\sqrt{2}$, dấu bằng $\Leftrightarrow 3(x-4)=-4(x-3) $
$\Leftrightarrow y\geq 5\sqrt{2}$, dấu bằng$\Leftrightarrow x=\frac{24}{7} $
Vậy Min $y=5\sqrt{2}$ khi $x=\frac{24}{7}$
Trả lời