Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải
+) Vì $x^{2}+2>0 \forall x\in R $ nên tập xác định của hàm số là: $R$
Ta có: $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}=\frac{2\left ( x^{2}+2 \right )-\left ( x-1 \right )^{2}}{x^{2}+2}=2-\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{x^{2}+2}\leq 2, \forall x\in R$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $x=1$.
+) Ta lại có thể viết:
$y=\frac{\frac{1}{2}x^{2}+1+\frac{1}{2}x^{2}+2x+2}{x^{2}+2}=\frac{\frac{1}{2}\left ( x^{2}+2 \right )+\frac{1}{2}\left ( x+2 \right )^{2}}{x^{2}+2}=\frac{1}{2}+\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{2\left ( x^{2}+2 \right )}\geq \frac{1}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=-2$. Vậy min hàm số là $\frac{1}{2}$ khi x=-2.
Trả lời