Đề bài: Cho hàm số $ y_k=\frac{2k\cos x+k+1}{\cos x+\sin x+2}$a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với $y_1$ ( ứng với $k=1$)b) Tìm $k$ để giá trị lớn nhất của $y_k$ là nhỏ nhất.
Lời giải
Miền xác định : $ D=R$ ( vì $ \cos x+\sin x+2=\sqrt{2}\left ( \sqrt{2}+\sin (x+\frac{\pi}{4}) \right )>0, \forall x \in R$)
Khi đó: $(y_k-2k)\cos x+y_k\sin 2x=k+1-2y_k$
Điều kiện phương trình có nghiệm
$\Leftrightarrow (y_k-2k)^2+y_k^2\geq (k+1-2y_k)^2$
$\Leftrightarrow 2y_k^2-4y_k-3k^2+2k+1 \leq 0$
$ \Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{6k^2-4k+2}}{2}\leq y_k\leq \frac{2+\sqrt{6k^2-4k+2}}{2}$
Vậy $ \begin{cases}\max \limits_{x \in R} y_k= \frac{2+\sqrt{6k^2-4k+2}}{2} \\ \min\limits_{x \in R} y_k= \frac{2-\sqrt{6k^2-4k+2}}{2} \end{cases}$
a) $ \max\limits_{x \in R} y_1=2, \min \limits_{x \in R} y_1=0$
b)$ \max \limits_{x \in R} y_k=\frac{2+\sqrt{6(k-\frac{1}{3})^2+\frac{4}{3}}}{2} \geq \frac{2+\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}$
$\Rightarrow \min \limits_{k \in R}[\max \limits_{x \in R} y_k]=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$ ( Khi $ k=\frac{1}{3}$)
Trả lời