Đề bài: Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Lời giải
Tập xác định của hàm số là $R$
$y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} (2 \cos ^2x -1)+\frac{ 1}{ 3} (4 \cos ^3 x -3 \cos x )$
$= \frac{ 4}{ 3} \cos ^3 x +\cos ^2 x +\frac{ 1}{ 2} $
Đặt $\cos x =t,$ với mọi $x$ thì $|t| \leq 1 (A)$
Hàm số có dạng $f(t) = \frac{ 4}{ 3} t^3+t^2+\frac{ 1}{ 2} $ với $t \in (A)$
$f'(t)=4t^2+2t$
$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=0, t=-\frac{ 1}{ 2} \in (A)$
$f(-1)=-\frac{ 4}{ 3} +1+\frac{ 1}{ 2} =\frac{ 1}{ 6} $
$f(0)=\frac{1 }{ 2} $
$f(-\frac{ 1}{ 2})=\frac{ 4}{ 3}(-\frac{ 1}{ 2} )^3+\frac{1 }{ 4}+\frac{ 1}{ 2}=\frac{ 7}{12 } $
$f(1)=\frac{ 4}{ 3}+1+\frac{1 }{2 } =\frac{ 17}{ 6} $
$\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A f(t)=Max \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(1)} \right\} = f(1)=\frac{ 17}{ 6} $
$\mathop {Min}\limits_A f(t)=Min \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(0),f(1)} \right\} = f(-1)=\frac{1 }{ 6} $
Đáp số:
$Max y = \frac{ 17}{ 6} $ đạt được khi $x=2k\pi$
$Min y =\frac{ 1}{ 6} $ đạt được khi $x=\pi+2k\pi$
Trả lời