Đề bài: Cho hàm số $y = f(x) = x^2 – 3x$ với tập xác định là $\left[ {\frac{3}{2}, + \infty } \right)$$a)$ Tìm tập giá trị của hàm số đã cho.$b)$ Chứng minh rằng hàm số đã cho có hàm số ngược. Tìm hàm số ngược đó.
Lời giải
Giải
$a)$ Ta có : $y = {x^2} – 3{\rm{x}} = \left[ {{x^2} – 2{\rm{x}}\left( {\frac{3}{2}} \right) +
\frac{9}{4}} \right] – \frac{9}{4} = {\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} – \frac{9}{4} \ge – \frac{9}{4}$
với $\forall x \in \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$
$\Rightarrow $Tập giá trị của hàm số $y = x^2 – 3x$ là $Y = \left[ { – \frac{9}{4}; + \infty } \right)$
$b)$ Xét hàm số $y = x^2 – 3x \Leftrightarrow x^2 – 3x – y = 0 (*)$
Có : $\triangle = 9 + 4y \geq 0$ (vì $y \ge – \frac{9}{4}$) nên phương trình ($*$) có $2$ nghiệm số :
${x_1} =
\frac{{3 + \sqrt {9 + 4y} }}{2};$ ${x_2} = \frac{{3 – \sqrt {9 + 4y} }}{2}$
Chỉ có nghiệm duy nhất ${x_1} = \frac{{3 + \sqrt {9 + 4y} }}{2}$ thỏa điều kiện $x \ge
\frac{3}{2}$ nên nhận
Vậy hàm số đã cho có hàm số ngược là $y = \frac{{3 + \sqrt {9 + 4y} }}{2}$
Trả lời