Đề: Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 3{y^2} = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {x – y} \right)^2}\) là:

Với y=0 ta có \(x =  \pm 2 \Rightarrow P = 4.\)

Với \(y \ne 0,\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 2\frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 3}}\)

Đặt \(t = \frac{x}{y},\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)

\(f'(t) = \frac{{4({t^2} + t – 2)}}{{{{({t^2} + 2t + 3)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  – 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy \(\max f(t) = 3 \Rightarrow \max P = 12.\)