Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=\frac{\pi}{2}$. Tìm GTLN của biểu thức : $Q=\frac{\sin x}{a}+\frac{\sin y}{b}+\frac{\sin z}{c}$
Lời giải
Ta có:
Đặt $x=\frac{\pi}{2}-\alpha, y=\frac{\pi}{2}-\beta, z=\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\pi$
Biểu thức $Q$ trở thành $Q=\frac{\cos \alpha}{a}+\frac{\cos \beta}{b}+\frac{\cos \gamma}{c}$
Theo $(2′)$ ta có $Q \geq \frac{a}{2bc}+\frac{b}{2ca}+\frac{c}{2ab}=\frac{a^2b^2+c^2}{2abc}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\sin \alpha:\sin \beta:\sin \gamma=a:b:c (*)$
Mặt khác trong $\Delta ABC$ luôn có : $\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ ( định lí $\sin $)
Suy ra với $(\alpha=A,\beta=B,\gamma=C)\Leftrightarrow (x=\frac{\pi}{2}-A;y=\frac{\pi}{2}-B;z=\frac{\pi}{2}-C)$ thì (*) được thỏa mãn. Vậy $\max Q=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
Trả lời