Đề bài: Cho $a,b,c$ là ba số dương sao cho $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2(c+a)}+\frac{ab}{c^2(a+b)}$
Lời giải
Đặt $\frac{1}{a}=x >0,\frac{1}{b}=y>0,\frac{1}{c}=z>0$.Ta có abc=$1 \Leftrightarrow xyz=1$
Biểu thức Q trở thành $Q=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} (2)$
Áp dụng bất đẳng thức Svacxở vào $(2)$ ta có :
$Q \geq \frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(z+x)+(x+y)} = \frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2} =\frac{3}{2} (3)$
Dấu đẳng thức trong $(2)$ và $(3)$ đồng t hời có khi và chỉ khi $x=y=z=1$
Vậy min$Q$=$\frac{3}{2}$
Trả lời