Đề bài: Cho đường tròn đường kính $AB=2R$ chứa trong mặt phẳng $(\alpha) ,SA$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha) ,SA=h$ với $0

Lời giải

Gọi $E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $AM,SB$
Nhận xét rằng dựa trên tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có :
$AF=\frac{1}{2} SB$ và $MF=\frac{1}{2} SB=\frac{\sqrt{h^2+4R^2} }{2} $
$\Rightarrow  MF=AF\Leftrightarrow  \Delta AFM $cân tại $F$
$\Rightarrow  EF\bot AM$
Như vậy để $EF$ là đoạn thẳng vuông góc chung của $AM,SB$ điều kiện là :
$EF\bot SB\Leftrightarrow  \Delta ESB$ cân tại $E\Leftrightarrow  SE=BE   (1)$
Đặt $AE=x$ suy ra $ME=x$
Trong $\Delta SAE$ vuông tại $A$ ta có :
$SE^2=SA^2+AE^2=h^2+x^2\Rightarrow  SE=\sqrt{h^2+x^2}      (2)$
Trong $\Delta EMB$ vuông tại $M$ ta có :
$BE^2=BM^2+ME^2=(AB^2-AM^2)^2+ME^2$
$=4R^2-4x^2+x^2=4R^2-3x^2$
$\Rightarrow  BE=\sqrt{4R^2-3x^2}        (3) $
Thay $(2),(3)$ vào $(1)$ ta được :
$\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{4R^2-3x^2}\Leftrightarrow  h^2+x^2=4R^2-3x^2  $
$\Leftrightarrow  x=\frac{\sqrt{4R^2-h^2} }{2}\Rightarrow  AM=2x=\sqrt{4R^2-h^2}  $
Trong $\Delta MEF$ vuông tại $E$ ta có :
$EF^2=MF^2-ME^2=\frac{h^2+2R^2}{4} -\frac{4R^2-h^2}{4} =\frac{h^2}{2}\Rightarrow  EF=\frac{h\sqrt{2} }{2}  $
Vậy với điểm $M$ thuộc đường tròn sao cho $AM=\sqrt{4R^2-h^2} $ thì $EF$ là đoạn thẳng vuông góc chung của $AM,SB$ và khi đó $EF=\frac{h\sqrt{2} }{2} $