Đề bài: Ba đại lượng biến thiên $x, y, z$ luôn thỏa mãn điều kiện: $xy + yz + zx = 4$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F = {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Lời giải
Do $2uv \le {u^2} + {v^2}$ ta có
$4 = xy + yz + xz \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2} + \frac{{{x^2} + {z^2}}}{2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$
$ \Leftrightarrow 16 \le {({x^2} + {y^2} + {z^2})^2} = {x^4} + {y^4} + {z^4} + 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2}$
$ \le {x^4} + {y^4} + {z^4} + \left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \left( {{y^4} + {z^4}} \right) + \left( {{x^4} + {z^4}} \right) = 3({x^4} + {y^4} + {z^4})$
$ \Leftrightarrow 16/3 \le {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Vậy $\min F = 16/3$ đạt được khi $x = y = z = \pm 2\sqrt 3 $
Trả lời