Đề bài: $\alpha ,\beta , \gamma $ là 3 góc dương thỏa mãn điều kiện $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $g = \sqrt {1 + \tan\alpha \tan\beta } + \sqrt {1 + \tan\beta \tan\gamma } + \sqrt {1 + \tan\gamma \tan\alpha } $
Lời giải
Theo giả thiết ta có: $\pi /2 – \gamma = \alpha + \beta $
$ \Rightarrow tg(\pi /2 – \gamma ) = \cot g\gamma = \frac{1}{{tg\gamma }} = tg(\alpha + \beta ) = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 – tg\alpha tg\beta }}$
$ \Leftrightarrow tg\alpha tg\beta + tg\beta tg\gamma + tg\gamma tg\alpha = 1$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$\begin{array}{l}
g = 1.\sqrt {1 + tg\alpha tg\beta } + 1.\sqrt {1 + tg\beta tg\gamma } + 1.\sqrt {1 + tg\gamma tg\alpha } \\
\le \left[ {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)} \right]{\left( {1 + tg\alpha tg\beta + 1 + tg\beta tg\gamma + 1 + tg\gamma tg\alpha } \right)^{1/2}}
\end{array}$
$ = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow max g = 2\sqrt 3 $
Dấu = xảy ra khi $\alpha = \beta = \gamma = \pi /6$
Trả lời