Đề: a) Chứng minh rằng hàm số:         $y=\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x+2\sqrt[3]{33}$ chỉ nhận giá trị dương.b) Xác dịnh $a$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4x^2-4ax+a^2-2a$ trên $[-2;0]$ bằng $2$

Đề bài: a) Chứng minh rằng hàm số:         $y=\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x+2\sqrt[3]{33}$ chỉ nhận giá trị dương.b) Xác dịnh $a$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4x^2-4ax+a^2-2a$ trên $[-2;0]$ bằng $2$

Lời giải

a) Ta chứng minh $\min y>0$
Ta có: $y=\frac{1-\cos 2x}{2}-7\sin 2x-\frac{5(1+\cos 2x)}{2} +3\sqrt[3]{33}$
                $=-7\sin 2x-3\cos 2x-2+3\sqrt[3]{33}$
Do $-7\sin 2x-3\cos 2x \geq -\sqrt{58}$ nên:
( áp dụng: $-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin u+b\cos u \leq \sqrt{a^2+b^2}$)
$\min y=3\sqrt[3]{33}-2-\sqrt{58}$
Ta có: $\min y>0 \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{33}>2+\sqrt{58}$
                                 $\Leftrightarrow 27.33>8+12\sqrt{58}+6.58+58\sqrt{58}$
                                 $\Leftrightarrow 545>70\sqrt{58} \Leftrightarrow 545^2>58.4900$
                                 $\Leftrightarrow 297025>284200$ ( đúng)
Vậy: $\min y>0$ hay $y>0, \forall x\in R$
b) Hoành độ đỉnh $x_0=\frac{a}{2}$. Xét các trường hợp sau:
    * $x_0                 $\min y=2 \Leftrightarrow a^2+6a+14=0$ (vô nghiệm)
    * $x_0 \in [-2;0] \Leftrightarrow -4\leq a \leq 0: \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 2;0]} (\frac{a}{2})=-2a$
                                 $\min y=2 \Leftrightarrow -2a=2 \Leftrightarrow a=-1$  (nhận)
    * $x_0>0 \Leftrightarrow a>0: \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 2;0]} y=y(0)=a^2-2a$
                                 $\min y=2 \Leftrightarrow a^2-2a-2=0 \Leftrightarrow a=1\pm\sqrt{3}$
     Chỉ có $a=1+\sqrt{3}>0$ thỏa mãn bài toán.
     Vậy với $a=-1, a=1+\sqrt{3}$ thì $ \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 2;0]} y=2$