(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = 2CD = DB = 2a.\) Gọi \(H\)và \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc

của \(A\)và \(B\) lên đường thẳng \(CD\) sao cho \(H,C,D,K\) theo thứ tự cách đều nhau. Biết góc tạo bởi \(AH\) và \(BK\) bằng \(60^\circ \). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\)bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Lời giải:

Chọn D

⬥ Có \(HC = CD = DK = a;\;AC = 2a;\;BD = 2a\).

Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AH = \sqrt {A{C^2} – H{C^2}} = \sqrt {4{a^2} – {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Tam giác \(BKD\) vuông tại \(K\) nên \(BK = \sqrt {B{D^2} – H{K^2}} = \sqrt {4{a^2} – {a^2}} = a\sqrt 3 .\)

Tứ diện \(ABKH\) có:

cặp cạnh đối \(AH = BK = a\sqrt 3 \), \(\left( {AH;BK} \right) = 60^\circ \),và \(d\left( {AH;BK} \right) = HK = 3a\).

Suy ra \({V_{ABKH}} = \frac{1}{6}AH.BK.d(AH,BK).\sin (AH,BK) = \frac{1}{6}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^3}.\)

⬥ Dễ thấy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{ABKH}} = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện